关于二次曲线切线问题的研究

很早就想整理这部分的知识了,迫于时间原因,一直拖到现在。下面就圆、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦进行一些研究。主要涉及两个方面,一个是关于曲线上某点的切线方程,另一个是关于曲线的切点弦方程。 如果无法文中的公式无法正常显示,请前往博客阅读原文

一、关于曲线上某点的切线方程

1、圆

我们都知道,过圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\left ( r > 0 \right )\)上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\)的切线方程是\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\)。下面我们就更为一般的情形进行探究:

定理1.1:给定圆\(C:\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y- b\right )^{2}=r^{2}\left ( r > 0 \right )\),以及圆上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则过该点的切线方程为\[\left ( x_{0}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{0}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\] 证明:对于圆\(C:\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y- b\right )^{2}=r^{2}\),两边同时对\(x\)求导,得\[2\left ( x-a \right )+2\left ( y-b \right )\cdot\frac{dy}{dx}=0.\]其中\(\frac{dy}{dx})即为(y’\),只是导数两种不同的记号,化简整理得\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b}.\]那么我们可以写出切线方程为\[y-y_{0}=-\frac{x_{0}-a}{y_{0}-b}\left ( x-x_{0} \right ).\]进一步化简得\[\left ( x_{0}-a \right )x+\left ( y_{0}-b \right )y-\left ( x_{0}^{2}+y_{0}^{2} \right )+ax_{0}+by_{0}=0.\]又\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\)在圆\(C\)上,则\(\left ( x_{0}-a \right )^{2}+\left ( y_{0}-b \right )^{2}=r^{2}\),代入上式化简得\[\left ( x_{0}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{0}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\]证毕。

2、椭圆 有了上面的基础,我们可以猜测到椭圆上某点的切线方程。

定理1.2:给定椭圆\(C:\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}+\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=1\left ( a > b > 0 \right )\),以及椭圆上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则过该点的切线方程为\[\frac{\left ( x_{0}-m \right )\left ( x-m \right )}{a^{2}}+\frac{\left ( y_{0}-n \right )\left ( y-n \right )}{b^{2}}=1.\] 证明略。

3、双曲线

定理1.3:给定双曲线\(C:\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}-\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=1\left ( a > 0, b > 0 \right )\),以及双曲线上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则过该点的切线方程为\[\frac{\left ( x_{0}-m \right )\left ( x-m \right )}{a^{2}}-\frac{\left ( y_{0}-n \right )\left ( y-n \right )}{b^{2}}=1.\] 证明略。对于焦点在\(y\)轴上的情形,读者可以自行推导。

4、抛物线

定理1.4:给定抛物线\(C:y^{2}=2p\left ( x-a \right )\left ( p > 0 \right )\),以及抛物线上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则过该点的切线方程为\[y_{0}y=p(x+x_{0}-2a).\] 证明略。对于其他三种情形,读者可以自行推导。

二、关于曲线外某点的切点弦方程

1、圆 类似的,圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\left ( r > 0 \right )\)外一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\)的切点弦方程是\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\)。下面我们就更为一般的情形进行探究:

定理2.1:给定圆\(C:\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y- b\right )^{2}=r^{2}\left ( r > 0 \right )\),以及圆外一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则该点的切点弦方程为\[\left ( x_{0}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{0}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\] 证明:设过\(P\)的切线与圆\(C\)相交于点\(A\left ( x_{1},y_{1} \right ))以及(B\left ( x_{2},y_{2} \right )\),首先过点\(A\)的切线同时经过点\(P\),切线方程为\[\left ( x_{1}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{1}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\]又过点\(B\)的切线同时也经过点\(P\),切线方程为\[\left ( x_{2}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{2}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\]综合上述两个方程,便可以得到过点\(A,B\)的方程,即点(P)的切点弦方程\[\left ( x_{0}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{0}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}.\]

2、椭圆

定理2.2:给定椭圆\(C:\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}+\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=1\left ( a > b > 0 \right )\),以及椭圆上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则该点的切点弦方程为\[\frac{\left ( x_{0}-m \right )\left ( x-m \right )}{a^{2}}+\frac{\left ( y_{0}-n \right )\left ( y-n \right )}{b^{2}}=1.\] 证明略。

3、双曲线

定理2.3:给定双曲线\(C:\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}-\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=1\left ( a > 0, b > 0 \right )\),以及双曲线上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则该点的切点弦方程为\[\frac{\left ( x_{0}-m \right )\left ( x-m \right )}{a^{2}}-\frac{\left ( y_{0}-n \right )\left ( y-n \right )}{b^{2}}=1.\] 证明略。对于焦点在\(y\)轴上的情形,读者可以自行推导。

4、抛物线

定理2.4:给定抛物线\(C:y^{2}=2p\left ( x-a \right )\left ( p > 0 \right )\),以及抛物线上一点\(P\left(x_{0},y_{0}\right)\),则该点的切点弦方程为\[y_{0}y=p(x+x_{0}-2a).\] 证明略。对于其他三种情形,读者可以自行推导。 至此,关于二次曲线的两种切线问题已经阐述完毕。从上述过程我们可以看出,过曲线上某点的切线方程和过曲线外某点的切点弦方程的形式是完全一致的,这正是数学的魅力所在!

9 条评论关于二次曲线切线问题的研究

  1. 要求任意二次曲线在某点处切线,用\(xx_{0}\)代替\(x^{2}\),\(yy_{0}\)代替\(y^{2}\),\(\frac{x+x_{0}}{2}\)代替\(x\),\(\frac{y+y_{0}}{2}\)代替\(y\)即可

    PS1:高中生考试时慎用

    PS3:对于非曲线上的点,这种代换得到的直线不是一定没有意义的,例如圆和圆锥曲线(或许对任意曲线都有意义只是我还没发现)

    PS2:这种方法对于空间曲面求切平面也有效,代换\(z\)即可

      1. 如果是高中题目的话,直接用这些结论会认为跳步的吧。。以前我就直接用线面角公式,面面角公式这种东西,各种被老师警告233333

      2. 线面角,面面角公式好像还是比较偏的,以前在一本课外数学杂志上看到的。。。现在也忘了。。其实也很容易自己推。。。主要是做立体几何题的时候会很快,而且自从用了这个,我记得我整个高中解答题解立体几何题,从来没用过建系法。。。
        几何法又快又简洁。。就是比较考想象力。。。

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