谱密度与自相关函数

一、能量信号与功率信号

设有一随时间变化的信号\(x\left(t\right)\),在进行能量分析时,不加区分地将其视为施加在电阻\(R=1\mathrm{\Omega}\)上的的电流。将该单位电阻上的能量属性,视为该信号的能量属性。

因此,信号\(x\left(t\right)\)的总能量为:
\[
E=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{T}{I^2R\mathrm{d}t}}=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{T}{x\left(t\right)\mathrm{d}t}}
\]
同理,信号\(x\left(t\right)\)的功率为:
\[
P=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x^2\left(t\right)\mathrm{d}t}}
\]
对于不同的信号,上述两种极限不一定都存在,由此可以区分出能量信号和功率信号。若\(E\)的极限存在,则称该信号为能量信号;若\(P\)的极限存在,则称该信号为功率信号

二、谱密度

(一)能量信号

对于一能量信号,其傅里叶变换为:
\[
X\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\left(t\right)e^{-\mathrm{j\omega t}}\mathrm{d}t}
\\
E=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\omega}
\]
因此,很容易分离出各个频率分量对应的能量,即\(\mathrm{d}E=\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\left(\omega/2\pi\right)\)。对\(\mathrm{d}E\)积分即可得到信号的总能量,故而\(\left|X\left(\omega\right)\right|^2\)定义为能量谱密度,简称能量谱,表示信号在某一频段的集中程度。量纲为\(\mathrm{V\cdot s/Hz}\)。

(二)功率信号

1、周期功率信号

对于周期功率信号而言,只需对其有限长时间内的信号进行周期延拓即可。考虑到周期信号在时间上无始无终,能量必定是无限的,但功率可能是有限的。对其作傅里叶展开可得:
\[
x\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_n\sin{\left(n\Omega_0 t+\varphi_n\right)}},\quad \Omega_0=\frac{2\pi}{T}
\]
表示为复指数形式:
\[
x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{\mathrm{j}n\Omega_0 t}}
\]
对于周期信号的平均功率,只需要计算其单个周期内的平均功率即可:
\[
P=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x^2\left(t\right)\mathrm{d}t}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T_0}{\left[\sum_{n=1}^{\infty}{A_n\sin{\left(n\Omega_0 t+\varphi_n\right)}}\right]^2\mathrm{d}t}
\]
或:
\[
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T_0}{\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{\mathrm{j}n\Omega_0 t}}\right)^2\mathrm{d}t}
\]
利用二项展开以及三角函数的正交性化简可得:
\[
P=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_n^2/2\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}{P_n}
\]
或:
\[
P=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{\left(\left|c_n\right|^2/2\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{P_n^*}
\]
其中\(A_n\)是周期信号中频率为\(n\Omega_0\)的谐波分量的幅值,\(A_n^2/2\)是周期信号中频率为\(n\Omega_0\)的谐波分量的功率。即:周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和

如果以频率为横坐标,功率为纵坐标,即可得到功率随频率的分布。可以观察到,周期信号的功率谱中频率分布是离散的、等间距的,其间隔长度为基频\(\Omega_0=2\pi/T_0\)。如果将\(P_n\)在区间\(\left[n\Omega_0,\left(n+1\right)\Omega_0\right]\)平均化为\(P_n/\Omega_0\),即可得到一条连续的分布曲线\(G\left(\omega\right)\),其物理意义就是频率\(\omega\)上的功率密度,即功率谱密度,量纲为\(\mathrm{V^2/Hz}\)。功率谱密度对频率的积分即为信号功率:
\[
P=\int_0^\infty{G\left(\omega\right)\mathrm{d}\omega}
\]
此外,还可以引入冲激函数来描述功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{P_n\cdot\delta\left(\omega-n\Omega_0\right)}
\]
当我们以三角函数对功率进行展开时,幅值\(A_n\)为实数,\(n\)为正值,此时功率谱密度\(G\left(\omega\right)\)为单边功率谱密度;当我们以复指数对功率进行展开时,系数\(C_n\)为复数,\(n\)为全体整数,此时功率谱密度\(S\left(\omega\right)\)为双边功率谱密度。二者关系为:
\[
A_n=2\left|C_n\right|\quad\Rightarrow\quad G\left(\omega\right)=2S\left(\omega\right)
\]

2、非周期功率信号

非周期功率信号可以用周期功率信号的思路来推广,即取周期\(T_0\rightarrow\infty\)。此时有\(\Omega_0\rightarrow 0\)和\(A_n\rightarrow 0\)。因此,所有频率的谱值\(P_n\)均为无穷小。但功率谱密\(G\left(\omega\right)=P_n/\Omega_0\)却为有限值,可用于描述信号的功率分布,即功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{P_n}{\Omega_0}}
\]
此外,还可通过对信号的截断来计算非周期信号的功率谱密度。将信号\(x\left(r\right)\)在区间\(\left[-T,T\right]\)上截断后所得的信号\(x_0\left(t\right)\)则为能量信号。对其进行傅里叶变换后可得\(x_0\left(t\right)\)的能量谱密度为\(\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2\),随着截断时间\(2T\rightarrow\infty\),截断信号\(x_0\left(t\right)\)逼近于功率信号,其能量谱密度\(\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2\rightarrow\infty\),而其时间平均则为有限值,即功率谱密度:
\[
G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left|X_0\left(\omega\right)\right|^2}
\]

三、自相关函数

自相关函数\(R\left(\tau\right)\)描述了信号\(x\left(t\right)\)在任意两个不同时刻的状态之间的相关程度,即整个随机过程中任意两个时刻之间的线性相关性。
\[
R\left(\tau\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)x\left(t-\tau\right)\mathrm{d}t}
\]

(一)自相关函数与卷积的关系

自相关函数的操作包含平移乘积积分三个步骤,而卷积操作则比它多了一个信号反褶的操作,其定义如下:
\[
x\left(t\right)*y\left(t\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)y\left(\tau-t\right)\mathrm{d}t}
\]
由此可得:
\[
R\left(\tau\right)=x\left(t\right)*x\left(-t\right)
\]

(二)自相关函数与功率谱密度的关系

根据维纳辛钦(Winner-Khintchine)定理,平稳随机过程的功率谱密度与其自相关函数互为傅里叶变换。证明如下:

设有一信号\(x\left(t\right)\),则信号功率根据帕塞瓦尔(Parseval)定理可以表示为:
\[
P=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}{x\left(t\right)^2\mathrm{d}t}}=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{+T}{\left|X\left(\omega\right)\right|^2\mathrm{d}\omega}}
\]
其中\(X\left(\omega\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t}\),由此可得:
\[
P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}}\mathrm{d}t}
\]
则\(G\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}\)为功率信号\(x\left(t\right)\)的功率谱密度。

令\(x^{\left(k\right)}\left(t\right)\)为平稳随机信号\(\left\{x\left(t\right)\right\}\)的一个样本,则其功率谱密度为
\[
G^{\left(k\right)}\left(\omega\right)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X\left(\omega\right)\right|^2}{2T}}
\]
因为\(x^{\left(k\right)}\left(t\right)\)是\(\left\{x\left(t\right)\right\}\)的一个样本,因此其功率谱密度\(G^{\left(k\right)_X\left(\omega\right)}\)将会随着样本的不同而发生变化。对于平稳随机信号而言,其功率谱密度的定义为\(G\left(\omega\right)=E\left[P^{\left(k\right)}_X\left(\omega\right)\right]\)。由此可得:
\[
G(\omega)=E\left[\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{\left|X(\omega)\right|^2}{2T}}\right]
\]

\[
G(\omega)=E\left[\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{+T}{\int_{-T}^{+T}{x^{(k)}\left(t_1\right)x^{(k)}\left(t_2\right)e^{-\mathrm{j}\omega \left(t_1-t_2\right)}\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2}}}\right]
\]

利用自相关函数的定义可得:
\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-T}^{+T}{\int_{-T}^{+T}{R\left(t_1-t_2\right)e^{-\mathrm{j}\omega \left(t_1-t_2\right)}\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2}}}
\]
令\(\tau=t_1-t_2\),做积分变量代换可得:
\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-2T}^{+2T}{\int_{-T-\tau}^{+T-\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left[\int_{0}^{+2T}{\int_{-T+\tau}^{+T-\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}+\int_{-2T}^{0}{\int_{-T-\tau}^{+T+\tau}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t_2}}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\frac{1}{2T}\left[\int_{0}^{+2T}{\left(2T-2\tau\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}+\int_{-2T}^{0}{\left(2T+2\tau\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\left[\int_{0}^{+2T}{\left(1-\frac{\tau}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}+\int_{-2T}^{0}{\left(1+\frac{\tau}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}\right]}
\]

\[
G(\omega)=\lim_{T\rightarrow\infty}{\int_{-2T}^{+2T}{\left(1-\frac{\left|\tau\right|}{T}\right)R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}}
\]

\[
G(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{R\left(\tau\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau}
\]

同时,有下式成立:
\[
R\left(\tau\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{G\left(\omega\right)e^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\omega}
\]
因此,平稳随机信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅里叶变换对

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