浅谈伴随矩阵在逆矩阵求解中的应用

最近数学课上讲了矩阵,很久以前便对矩阵很有兴趣,但由于一些原因没有深入学习。正好趁这个机会,有思考了一下关于矩阵的内容。目前应用较广的应该是运用逆矩阵求解线性方程组,尤其对于三元一次方程组,运用逆矩阵求解会非常方便。

一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。我们对这种情况不做深入讨论。

引理1:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),以及两个整数\(i,j\),其中\(1\leq i,j\leq n\)。去掉\(\mathbf{A}\)的第\(i\)行以及第\(j\)列,得到一个\(n-1\)阶子矩阵。记这个子矩阵的行列式为\(M_{ij}\)。称为余子式。

引理2:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),代数余子式是余子式\(M_{ij}\)与\(\left ( -1 \right )^{i+j}\)的乘积,记作\(C_{ij}\)。

例:对于矩阵\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\\
3 & 0 & 5\\
-1 & 9 & 11
\end{bmatrix}\),计算它的代数余子式\(C_{23}\)。
解:首先计算余子式\(M_{23}\),即原矩阵去掉第二行以及第三行所得的矩阵的行列式:\(\begin{bmatrix}
1 & 4 & \bigcirc \\
\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\
-1 & 9 & \bigcirc
\end{bmatrix}\),即\(\begin{vmatrix}
1 & 4\\
-1 & 9
\end{vmatrix}=\left ( 9-\left ( -4 \right ) \right )=13\)。因此\(C_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}\cdot M_{23}=-13\)。

引理3:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),由代数余子式组成的新的矩阵,称为该矩阵的余子矩阵。记作\(\mathbf{C}\)。

引理4:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),定义它的转置矩阵\(\mathbf{A^{T}}\)。转置矩阵\(\mathbf{A^{T}}\)可以通过下列操作得到:把\(\mathbf{A}\)的横行写为\(\mathbf{A^{T}}\)的纵行,把\(\mathbf{A}\)的纵行写为\(\mathbf{A^{T}}\)的横行。

例:\(\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{bmatrix}\)。

引理5:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),它的余子矩阵\(\mathbf{C}\)的转置矩阵称为矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵。记作\(\mathbf{A^{*}}=\mathbf{C^{T}}\)。

例:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。
解:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12}\\
C_{21} & C_{22}
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
M_{11} & -M_{12}\\
-M_{21} & M_{22}
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
d & -c\\
-b & a
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{bmatrix}\)。

例:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。
解:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
C_{21} & C_{22} & C_{23}\\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
M_{11} & -M_{12} & M_{13}\\
-M_{21} & M_{22} & -M_{23}\\
M_{31} & -M_{32} & M_{33}
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
\end{bmatrix}^{T}
\)\(=\begin{bmatrix}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
\end{bmatrix}\)
其中\(\begin{vmatrix}
a_{im} & a_{in}\\
a_{jm} & a_{jn}
\end{vmatrix}=a_{im}\cdot a_{jn}-a_{in}\cdot a_{jm}\)。

例:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
-3 & 2 & -5\\
-1 & 0 & -2\\
3 & -4 & 1
\end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。
解:通过计算不难得出\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
-8 & 18 & -4\\
-5 & 12 & -1\\
4 & -6 & 2
\end{bmatrix}\)。

引理6:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)与伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)满足\(\mathbf{A^{-1}}=
\frac{\mathbf{A^{*}}}
{\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}}\)。其中\(\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}\)为矩阵\(\mathbf{A}\)的行列式。

例:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
3 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}\),求它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)。
解:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
1 & -2\\
-2 & 3
\end{bmatrix},\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
3 & 2\\
2 & 1
\end{vmatrix}=-1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
-1 & 2\\
2 & -3
\end{bmatrix}\)。

例:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
3 & -1 & 0\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}\),求它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)。
解:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 3\\
3 & 4 & 5
\end{bmatrix},\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
3 & -1 & 0\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 1
\end{vmatrix}=1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix}
\mathbf{A}
\end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 3\\
3 & 4 & 5
\end{bmatrix}\)。

运用伴随矩阵来求解逆矩阵会方便很多,尤其是对于高阶矩阵。且使得逆矩阵的求法有规律可循,不需要死记公式。

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