浅谈塞瓦定理在平面几何中的应用

前几天在数学组听课的时候,做平面几何的题目,遇到了塞瓦定理。当时赵诚宇给我讲了一遍,现在再把它整理一下。

塞瓦定理:在\(\triangle ABC\)中,若线段\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)通过同一点\(O\),则\(\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1\)。

塞瓦定理逆定理:在\(\triangle ABC\)中,若点\(D\)、\(E\)、\(F\)分别在边\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)上,且满足\(\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} =1\),则线段\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)共点或彼此平行。(我们在次只研究共点的情形)

塞瓦定理-1

证明如下:

首先\[\frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac {S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}} \Rightarrow \frac {BD} {DC}=\frac {S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC}-S_{\triangle ODC}}=\frac {S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}\]

同理\[\frac {CE} {EA}=\frac {S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}},\frac {AF} {FB}=\frac {S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}\]

因此\[\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} = \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}} \cdot \frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}} \cdot \frac{S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}=1\]

证毕。

 

例:在筝形\(ABCD\)中,\(AB=AD\),\(BC=CD\),经\(AC\)、\(BD\)的交点\(O\)任做两条直线,分别交\(AD\)于\(E\),交\(CD\)于\(H\)。\(GF\)、\(EH\)分别交\(BD\)于\(I\),\(J\)。求证:\(IO=OJ\)。

塞瓦定理-2

证明如下:

作\(\triangle ABC\)的关于\(AC\)的对称图形,记\(E^{‘}H^{‘} \cap BB=M\)

设\(\angle GOB=\angle BOH^{‘}=\alpha,\angle E^{‘}OG=\angle FOH^{‘}=\beta\)

则有:\[\frac{E^{‘}G}{GB} \cdot \frac{BH^{‘}}{H^{‘}F} \cdot \frac{FM}{ME^{‘}}=\frac{OE^{‘}\sin \beta}{OB \sin \alpha} \cdot \frac{OB \sin \alpha}{OF \sin \beta} \cdot \frac{OF \sin \left ( \alpha + \beta \right )}{OE^{‘} \sin \left ( \alpha + \beta \right )}=1\]

由塞瓦定理得:\(MB\)、\(E^{‘}H^{‘}\)、\(GF\)共点,因此\(IO=OJ\)。

证毕。

3 条评论浅谈塞瓦定理在平面几何中的应用

发表评论